高一数学练习：高一数学第一章综合检测解答题

概要：>0，3a-11+a<0，解之得，-1又∵sin2θ+cos2θ=1，∴1-a1+a2+3a-11+a2=1，解之，得a=19或a=1(舍去).故实数a的值为19.18.(本题满分12分)若集合M=θsinθ≥12，0≤θ≤π，N=θcosθ≤12，0≤θ≤π，求M∩N.[解析]解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N和集合M对应的部分，然后求M∩N.首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y=12.如图.结合图象得集合M、N分别为M=θπ6≤θ≤5π6，N=θπ3≤θ≤π.得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M、N.作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示.由单位圆中的三角函数线知M=θπ6≤θ≤5π6，N=θπ3≤θ≤π.由此可得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.19.(本题满分12分)已知cosx+siny=12，求siny-cos2x的最值.[解析]∵cosx+siny=1

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高一数学练习：高一数学第一章综合检测解答题

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)已知sinθ=1-a1+a，cosθ=3a-11+a，若θ为第二象限角，求实数a的值.

[解析]　∵θ为第二象限角，∴sinθ>0，cosθ<0.

∴1-a1+a>0，3a-11+a<0，解之得，-1

又∵sin2θ+cos2θ=1，∴1-a1+a2+3a-11+a2=1，

解之，得a=19或a=1(舍去).

故实数a的值为19.

18.(本题满分12分)若集合M=θsinθ≥12，0≤θ≤π，N=θcosθ≤12，0≤θ≤π，求M∩N.

[解析]　解法一：可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N和集合M对应的部分，然后求M∩N.

首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y=12.如图.

结合图象得集合M、N分别为

M=θπ6≤θ≤5π6，N=θπ3≤θ≤π.

得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.

解法二：利用单位圆中的三角函数线确定集合M、N.

作出单位圆的正弦线和余弦线如图所示.

由单位圆中的三角函数线知

M=θπ6≤θ≤5π6，

N=θπ3≤θ≤π.

由此可得M∩N=θπ3≤θ≤5π6.

19.(本题满分12分)已知cosx+siny=12，求siny-cos2x的最值.

[解析]　∵cosx+siny=12，∴siny=12-cosx，

∴siny-cos2x=12-cosx-cos2x

=-cosx+122+34，

∵-1≤siny≤1，∴-1≤12-cosx≤1，

解得-12≤cosx≤1，

所以当cosx=-12时，(siny-cos2x)max=34，

当cosx=1时，(siny-cos2x)min=-32.

[点评]　本题由-1≤siny≤1求出-12≤cosx≤1是解题的关键环节，是易漏掉出错的地方.

20.(本题满分12分)已知y=a-bcos3x(b>0)的最大值为32，最小值为-12.

(1)求函数y=-4asin(3bx)的周期、最值，并求取得最值时的x;

(2)判断其奇偶性.

[解析]　(1)∵y=a-bcos3x，b>0，

∴ymax=a+b=32ymin=a-b=-12，解得a=12b=1，

∴函数y=-4asin(3bx)=-2sin3x.

∴此函数的周期T=2π3，

当x=2kπ3+π6(k∈Z)时，函数取得最小值-2;

当x=2kπ3-π6(k∈Z)时，函数取得最大值2.

(2)∵函数解析式f(x)=-2sin3x，x∈R，

∴f(-x)=-2sin(-3x)=2sin3x=-f(x)，

∴y=-2sin3x为奇函数.

21.(本题满分12分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示.试依图推出：

(1)f(x)的最小正周期;

(2)f(x)的单调递增区间;

(3)使f(x)取最小值的x的取值集合.

[解析]　(1)由图象可知，T2=74π-π4=32π，

∴T=3π.

(2)由(1)可知当x=74π-3π=-54π时，函数f(x)取最小值，

∴f(x)的单调递增区间是-54π+3kπ，π4+3kπ(k∈Z).

(3)由图知x=74π时，f(x)取最小值，

又∵T=3π，∴当x=74π+3kπ时，f(x)取最小值，

所以f(x)取最小值时x的集合为

xx=74π+3kπ，k∈Z.

22.(本题满分14分)函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为g(a)(a∈R).

(1)求g(a);

(2)若g(a)=12，求a及此时f(x)的最大值.

[解析]　(1)由f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x

=1-2a-2acosx-2(1-cos2x)

=2cos2x-2acosx-(2a+1)

=2cosx-a22-a22-2a-1.这里-1≤cosx≤1.

①若-1≤a2≤1，则当cosx=a2时，f(x)min=-a22-2a-1;

②若a2>1，则当cosx=1时，f(x)min=1-4a;

③若a2<-1，则当cosx=-1时，f(x)min=1.

因此g(a)=1　　　　　　(a<-2)-a22-2a-1 (-2≤a≤2)1-4a (a>2).

(2)∵g(a)=12.

∴①若a>2，则有1-4a=12，得a=18，矛盾;

②若-2≤a≤2，则有-a22-2a-1=12，

即a2+4a+3=0，∴a=-1或a=-3(舍).

∴g(a)=12时，a=-1.

此时f(x)=2cosx+122+12，

当cosx=1时，f(x)取得最大值为5.

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