中考数学代数综合型问题试题整理汇集(带答案)

概要：4m+2(15-m)=6n+4(17-n),解得m=n+19,所以m≥20,这与题意不符，③当k=3时，可列方程4m+(15-m)=6n+3(17-n),解得m=n+12,w=4m+(15-m)+ 6n+3(17-n)=6n+102,(1≤n≤17),所以当n=1时函数有最小值，最小值为108点评：本题综合性强，是对方程、不等式、一次函数的综合运用，同时，还要进行分类讨论。21、(2012重庆，21，10分)先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解。解析：本题可由不等式组求出x的值，然后化简分式后再代人求值。答案：解：不等式组的整数解是-3，原式= =2点评：分式的运算要注意运算顺序，化简到最简分式或整式为止。25.(2012湖北黄石，25，10分)已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a(b<0)，若抛物线C1经过点(0，-3)，方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4.⑴求抛物线C1的顶点坐标.⑵已知实数x>0，请证明x+ ≥2，并说明x为何值时才会有x+ =2.⑶若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m，y1)，B(n，y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m>0，n<0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA的函数解析式.(参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)

【答案】C

【点评】根据二次函数的图象与各项系数的关系，确定各字母的取值，然后根据一次函数、反比例函数的性质确定所经过的象限.

16.(2012重庆，16，4分)甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最多两种取法，甲每次取4张或(4一k)张，乙每次取6张或(6一k张(k是常数，0

解析：由0

答案：解：设甲取4张牌的次数为m,乙取 6张牌的次数为n,牌的总数为w,①当k=1时，可列方程4m+3(15-m)=6n+5(17-n),解得m=n+40,因为n≥1所以m≥41,这与题意不符(甲只取了15次)，②当k=2时，可列方程4m+2(15-m)=6n+4(17-n),解得m=n+19,所以m≥20,这与题意不符，③当k=3时，可列方程4m+(15-m)=6n+3(17-n),解得m=n+12,w=4m+(15-m)+ 6n+3(17-n)=6n+102,(1≤n≤17),所以当n=1时函数有最小值，最小值为108

点评：本题综合性强，是对方程、不等式、一次函数的综合运用，同时，还要进行分类讨论。

21、(2012重庆，21，10分)先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的整数解。

解析：本题可由不等式组求出x的值，然后化简分式后再代人求值。

答案：解：不等式组的整数解是-3，原式= =2

点评：分式的运算要注意运算顺序，化简到最简分式或整式为止。

25.(2012湖北黄石，25，10分)已知抛物线C1的函数解析式为y=ax2+bx-3a(b<0)，若抛物线C1经过点(0，-3)，方程ax2+bx-3a=0的两根为x1，x2，且|x1-x2|=4.

⑴求抛物线C1的顶点坐标.

⑵已知实数x>0，请证明x+ ≥2，并说明x为何值时才会有x+ =2.

⑶若将抛物线C1先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设A(m，y1)，B(n，y2)是C2上的两个不同点，且满足：∠AOB=90°，m>0，n<0.请你用含m的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S最小值及S取最小值时直线OA的函数解析式.

(参考公式：在平面直角坐标系中，若P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P、Q两点间的距离为 )

【解析】问题(1)中先将点(0，-3)的坐标代入抛物线C1的方程中，得到a的值;再利用根系关系得到b的值;最后将抛物线C1的方程利用配方法求出其顶点坐标.

问题(2)中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式.

问题(3)中，首先利用平移的已知条件，写出抛物线C2的方程;在Rt△AOB中，依勾股定理，列出含m、 n的等式并作整理化简;后表示出△AOB的面积S，并对面积S最值情况作探究，接着不难求得直线OA的函数解析式.

【答案】(1)∵抛物线过(0，-3)点，∴-3a=-3

∴a=1　……………………………………1分

∴y=x2+bx-3

∵x2+bx-3=0的两根为x1，x2且 =4

∴ =4且b<0

∴b=-2　 　　　　　　　　　　　　　　　　……………………1分

∴y=x2-2x-3=(x-1)2-4

∴抛物线C1的顶点坐标为(1，-4)　　　　　………………………1分

(2)∵x>0，∴

∴ 显然当x=1时，才有 　　　　　………………………2分

(3)由平移知识易得C2的解析式为：y=x2　　　　　　　　………………………1分

∴A(m，m2)，B(n，n2)

∵ΔAOB为RtΔ

∴OA2+OB2=AB2

∴m2+m4+n2+n4=(m-n)2+(m2-n2)2

化简得：m n=-1　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………………1分

∵ = =

∵m n=-1

∴ =

=

∴ 的最小值为，1，此时m=1，A(1，1) 　　　　　　……………………2分

∴直线OA的一次函数解析式为y=x.　　　　　　　　　 ……………………1分

【点评】问题(1)为常见类型，难度不大.问题(2)中主要是利用代数式变形、非负数性质证明不等式，前面未作任何铺垫，难度较大.问题(3)综合了平移、勾股定理、代数式变形等，关键要读懂题意，特别是要巧妙的“现学现用”问题(2)的结论，以及拓展应用两点间的距离公式，这些更是增加了难度.

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