数学重点知识讲解：互质数

概要：自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。 两个正整数(N)，除了1以外，没有其他公约数时，称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2判定互质数的方法汇总直接分辨(1)两个不相同质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。(2)相邻的两个自然数是互质数。例如 15与 16。(3)相邻的两个奇数是互质数。例如 49与 51。(4)大数是质数的两个数是互质数。例如97与88。(5)小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。(6)2和任何奇数是互质数。例如2和87。(7)1和任何自然数(0除外)都是互质数。计算判定法(1)两个数都是合数(两数相差较大)，小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。 如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。(2)两个数都是合数(两数相差较小)，这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。 85-78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。(3)两个数都是合数，大数除以小数的余数(不为“0”且大于“ 1”)的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221462÷221=2……20，20=2×2×5。2、5都不是221

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什么叫互质数？

定义及定理：【对于两个数来看 】 公因数只有1的两个数，叫做互质数。

【对于多个数来看(教材定义)】 若干个最大公因数只有1的正整数，叫做互质数。

表达及运用注意

(1)这里所说的“两个数”是指除0外的所有自然数。

(2)“公因数只有 1”，不能误说成“没有公因数。”

(3)三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。 两个正整数(N)，除了1以外，没有其他公约数时，称这两个数为互质数.互质数的概率是6/π^2

判定互质数的方法汇总

直接分辨

(1)两个不相同质数一定是互质数。例如，2与7、13与19。

(2)相邻的两个自然数是互质数。例如 15与 16。

(3)相邻的两个奇数是互质数。例如 49与 51。

(4)大数是质数的两个数是互质数。例如97与88。

(5)小数是质数，大数不是小数的倍数的两个数是互质数。例如 7和 16。

(6)2和任何奇数是互质数。例如2和87。

(7)1和任何自然数(0除外)都是互质数。

计算判定法

(1)两个数都是合数(两数相差较大)，小数所有的质因数，都不是大数的约数，这两个数是互质数。 如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。

(2)两个数都是合数(两数相差较小)，这两个数的差的所有质因数都不是小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。 　　85-78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。

(3)两个数都是合数，大数除以小数的余数(不为“0”且大于“ 1”)的所有质因数，都不是小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221

462÷221=2……20，

20=2×2×5。

2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。

(4)减除法。如255与182。

255-182=73，观察知 73<182。

182-(73×2)=36，显然 36<73。

73-(36×2)=1，

(255，182)=1。

所以这两个数是互质数。

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