2017年中考数学试题圆考点归类

概要：O2B，从而计算出弧AM的长度。5.(内蒙古包头12分)如图，已知∠ABC=90°，AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D.(1)如果BE=15，CE=9，求EF的长;(2)证明：①△CDF∽△BAF;②CD=CE;(3)探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD，请说明你的理由.【答案】解：(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，∴∠BCE=90°，又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴ 。∵BE=15，CE=9，即： ，解得：EF= 。(2)证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。②∵△CDF∽△BAF，∴ 。又∵△CEF∽△BCF，∴ 。∴ 。又∵AB=BC，∴CE=CD。(3)当F在⊙O的下半圆上，且 时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD。理由如下：

(2)∵O1B=O2B=O1O2，∴∠O1O2B=60°。

∵AB=23，∴BN=3，∴O2B =2。

∴ ⌒AM= ⌒BM=120π×2180=4π3。

【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。

【分析】(1)连接O2B，由MO2是⊙O1的直径，得出∠MBO2=90°从而得出结论：BM是⊙O2的切线。

(2)根据O1B=O2B=O1O2，则∠O1O2B=60°，再由已知得出BN与O2B，从而计算出弧AM的长度。

5.(内蒙古包头12分)如图，已知∠ABC=90°，AB=BC.直线l与以BC为直径的圆O相切于点C.点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC与点D.

(1)如果BE=15，CE=9，求EF的长;

(2)证明：①△CDF∽△BAF;②CD=CE;

(3)探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD，请说明你的理由.

【答案】解：(1)∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，

∴∠BCE=90°，

又∵BC为直径，∴∠BFC=∠CFE=90°。∴∠CFE=∠BCE。

∵∠FEC=∠CEB，∴△CEF∽△BEC。∴ 。

∵BE=15，CE=9，即： ，解得：EF= 。

(2)证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，∴∠ABF=∠FCD。

同理：∠AFB=∠CFD。∴△CDF∽△BAF。

②∵△CDF∽△BAF，∴ 。

又∵△CEF∽△BCF，∴ 。∴ 。

又∵AB=BC，∴CE=CD。

(3)当F在⊙O的下半圆上，且 时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC= CD。理由如下：

∵CE=CD，∴BC= CD= CE。

在Rt△BCE中，tan∠CBE= ，

∴∠CBE=30°，∴ 所对圆心角为60°。

∴F在⊙O的下半圆上，且 。

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】(1)由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。

(2)①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF。

②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得 ，又由AB=BC，即可证得CD=CE。

(3)由CE=CD，可得BC= CD= CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且 。

6.(内蒙古乌兰察布10分)如图，在 Rt△ABC中,∠ACB=90 D是AB 边上的一点，以BD为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点 F .

( 1 )求证： BD = BF ;

( 2 )若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长.

【答案】解：(1)证明：连结OE，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED。

∵⊙O与边 AC 相切于点E，

∴OE⊥AE。∴∠OEA=90°。

∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB。∴OE∥BC。∴∠F=∠OED。

∴∠ODE=∠F。∴BD=BF。

(2)过D作DG⊥AC于G，连结BE，

∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC。

∵BD为直径，∴∠BED=90°。

∵BD=BF，∴DE=EF。

在△DEG和△FEC中，

∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，∴△DEG≌△FEC(AAS)。∴DG=CF。

∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC。∴ 。

∴ ，∴ ，∴ 或 (舍去)。

∴BF=BC+CF=12+4=16。

【考点】等腰三角形判定和性质，圆切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，对顶角的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质。

【分析】(1)连接OE，易证OE∥BC，根据等边对等角即可证得∠ODE=∠F，则根据等角对等边即可求证。

(2)易证△AOE∽△ABC，根据相似三角形的对应边的比相等即可证得圆的半径，即可求解。

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