2017石景山高三理科数学上册期末试卷

概要：Ⅰ)证明： 在△ 中，.又 .由. …………………………4分(Ⅱ)如图,以 为原点，建立空间直角坐标系. ……………………5分.设 为平面 的一个法向量，因为所以 ，令 ，得 .所以 为平面 的一个法向量. ……………………7分设 与平面 所成角为 .则 .所以 与平面 所成角的正弦值为 . …………………9分(Ⅲ)设 ,则…………………12分当 时, 的最小值是 .即 为 中点时, 的长度最小,最小值为 . …………………14分17.(本小题共13分)记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 ，依题意有且 相互独立.(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为.

……………5分

……………7分

(Ⅱ)因为 ，所以               ……………9分

当 时，即 时， 的最大值为 ;      ……………11分

当 时，即 时， 的最小值为 .    ………13分

16.(本小题共14分)

(Ⅰ)证明： 在△ 中，

.又 .

由

.   …………………………4分

(Ⅱ)如图,以 为原点，建立空间直角坐标系. ……………………5分

.

设 为平面 的一个法向量，

因为

所以 ，

令 ，得 .

所以 为平面 的一个法向量.      ……………………7分

设 与平面 所成角为 .

则 .

所以 与平面 所成角的正弦值为 .          …………………9分

(Ⅲ)设 ,则

…………………12分

当 时,  的最小值是 .

即 为 中点时,  的长度最小,最小值为 .  …………………14分

17.(本小题共13分)

记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件 ，依题意有

且 相互独立.

(Ⅰ)甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为

.                       …………………3分

(Ⅱ)设“三人中只有甲破译出密码”为事件 ，则有

= ，      …………………5分

所以 ， .                          ……………………7分

(Ⅲ) 的所有可能取值为 .                    ……………………8分

所以 ，

=  =  .      ……………………11分

分布列为：

所以， .      ………………13分

2.(本小题共13分)

(Ⅰ)                                     …………………1分

， ，所以切线 的方程为

，即 .                 …………………3分

(Ⅱ)令 则

↗ 最大值 ↘

…………………6分

，所以 且 ， ， ，

即函数 的图像在直线 的下方.        …………………8分

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