2017年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)

概要：折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.(1)求证：△ABG≌△C′DG;(2)求tan∠ABG的值;(3)求EF的长.分析： (1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论;(2)由(1)可知GD=GB，故AG+ GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值;(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD= AD=4，再根据tan∠ABG即可得 出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论.解答： (1)证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，∴∠ABG=∠ADE，在：△ABG≌△C′DG中，∵ ，∴△ABG≌△C′DG;(2)解：∵由(1)可知△ABG≌△C′DG，∴GD=GB，∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中，∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=(8﹣x)2，解得x= ，&t

直角梯形的面积，此时与DC交点为

④ 当 时，直线扫地矩形的面积为五边形，

此时直线与DC的交点为 则

⑤ 当 时，直线扫过矩形的面积即为矩形的面积，故

综上，

【点评】：本题主要考查分段函数和分类计论思想。分类时要做到不重不漏，各种情况要仔细分析，计算量大。各种情况根据图形的特点，用面积公式求解。

23.(2012广东汕头，23，12分)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G;E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.

(1)求证：△ABG≌△C′DG;

(2)求tan∠ABG的值;

(3)求EF的长.

分析： (1)根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，故可得出结论;

(2)由(1)可知GD=GB，故AG+ GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值;

(3)由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD= AD=4，再根据tan∠ABG即可得 出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论.

解答： (1)证明：∵△BDC′由△BDC翻折而成，

∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′，

∴∠ABG=∠ADE，

在：△ABG≌△C′DG中，

∵ ，

∴△ABG≌△C′DG;

(2)解：∵由(1)可知△ABG≌△C′DG，

∴GD=GB，

∴AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8﹣x，

在Rt△ABG中，

∵AB2+AG2=BG2，即62+x2=(8﹣x)2，解得x= ，

∴tan∠ABG= = = ;

(3)解：∵△AEF是△DEF翻折而成，

∴EF垂直平分AD，

∴HD= AD=4，

∴tan∠ABG=tan∠ADE= ，

∴EH=HD× =4× = ，

∵EF垂直平分AD，AB⊥AD，

∴HF是△ABD的中位线，

∴HF= AB= ×6=3，

∴EF=EH+HF= +3= .

点评： 本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质、矩形的性质及解直角三角形，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状 和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键.

25.(2012山西，25，12分)问题情境：将一副直角三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由.

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：

解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线，

∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线.(依据1)

∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON.(依据2)

反思交流：

(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1：

依据2：

(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程.

拓展延伸：

(3)将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程.

【解析】(1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.

(2)证明：∵CA=CB，

∴∠A=∠B，

∵O是AB的中点，

∴OA=OB.

∵DF⊥AC，DE⊥BC，

∴∠AMO=∠BNO=90°，

∵在△OMA和△ONB中

，

∴△OMA≌△ONB(AAS)，

∴OM=ON.

(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由如下：

连接CO，则CO是AB边上的中线.

∵∠ACB=90°，

∴OC= AB=OB，

又∵CA=CB，

∴∠CAB=∠B=45，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，

∴∠2=∠B，

∵BN⊥DE，

∴∠BND=90°，

又∵∠B=45°，

∴∠3=45°，

∴∠3=∠B，

∴DN=NB.

∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°.又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°

∴四边形DMCN是矩形，

∴DN=MC，

∴MC=NB，

∴△MOC≌△NOB(SAS)，

∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，

∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，

即∠MON=∠BOC=90°，

∴OM⊥ON.

【答案】(1)解：故答案为：等腰三角形三线合一(或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)，角平分线上的点到角的两边距离相等.

(2)证明过程省略.

(3)解：OM=ON，OM⊥ON.理由见解析.

【点评】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等初数中常见的几何知识点.对考生的综合能力有一定的要求，故是选拔考生较好的能力题.难度较大.

23.(本题满分10分)

(2012山东东营，23，10分)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF;

(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.

(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC>AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积.

【解析】(1)利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF(SAS)，即CE=CF.(2)延长AD至F，使DF=BE.连接CF.借助(1)的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD.(3)过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).再设AB=x，利用(1)、(2)的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出x.

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