2017年部分地区中考数学几何综合型问题试题(附答案)

概要：线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.【解析】(1)根据折叠前后的相等线段，先在Rt△OEC中求出OE长，再在Rt△ADE中运用勾股定理构建方程求AD.然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可.(2)分别用含t的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得.(3)从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解.【答案】解：(1)∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10.由题意得，△BDC≌△EDC.∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD.由勾股定理易得EO=6.∴AE=10-6=4.设AD=x，则BD=DE=8-x，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2.解之得，x=3，∴AD=3.∵抛物线y=ax2+bx+c过点O(0，0)，∴c=0.∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3，10)，C(8，0)，∴ 解之得∴抛物线的解析式为：y=- x2+ x.(2)∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

26.(2012湖北襄阳，26，13分)如图12，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点.

(1)求AD的长及抛物线的解析式;

(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似?

(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由.

【解析】(1)根据折叠前后的相等线段，先在Rt△OEC中求出OE长，再在Rt△ADE中运用勾股定理构建方程求AD.然后将O，D，C三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c求出a，b，c即可.(2)分别用含t的代数式表示CQ和CP的长，再利用相似三角形产生的相似比构建含t的方程，解之即得.(3)从两定点C，E形成的边CE为平行四边形的边和对角线两个角度分析求解.

【答案】解：(1)∵四边形ABCO为矩形，

∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10.

由题意得，△BDC≌△EDC.

∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD.

由勾股定理易得EO=6.

∴AE=10-6=4.

设AD=x，则BD=DE=8-x，由勾股定理，得x2+42=(8-x)2.

解之得，x=3，∴AD=3.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点O(0，0)，∴c=0.

∵抛物线y=ax2+bx+c过点D(3，10)，C(8，0)，

∴ 解之得

∴抛物线的解析式为：y=- x2+ x.

(2)∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，

∴∠DEA=∠OCE.

由(1)可得AD=3，AE=4，DE=5.

而CQ=t，EP=2t，PC=10-2t.

当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，

∴ = ，即 = ，解得t= .

当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，

∴ = ，即 = ，解得t= .

∴当t= 或 时，以P，Q，C为顶点的三角形与△ADE相似.

(3)存在.M1(-4，-32)，N1(4，-38).

M2(12，-32)，N2(4，-26).

M3(4， )，N3(4，- ).

【点评】本题是一道直线形坐标几何问题，综合考查轴对称，全等三角形，矩形的性质，相似三角形，勾股定理与方程，平行四边形等方面的知识.重点考查学生综合运用数学知识解决综合问题的能力，以及运用方程思想，数形结合思想和分类讨论的思想解决问题的能力.本题入口较宽，第(1)问就是教材习题，能保证大部分考生得分，具有公平性;第(2)问属于动态探究问题，根据相似三角形产生的相似比建立含t的方程是求解关键.第(3)问情况有三种，所要求的点有六个，如何条理清晰的进行分类得出点的位置是解题先决条件.这类问题通常是以两定点形成的边为突破口，把它当作边和对角线分别思

23.(2012四川攀枝花，23，12分)(12分)如图9，在平面直角坐标系 中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=

(1)求过A、C、D三点的抛物线的解析式;

(2)记直线AB的解析式为 ，(1)中抛物线的解析式为 ，求当 时，自变量 的取值范围;

(3)设直线AB与(1)中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大?并求出面积的最大值。

【解析】菱形的性质，求抛物线解析式，

三角形函数，三角形的面积的求法

【答案】解：

(1)∵四边形ABCD是菱形

∴AB=CD=5，∠B=∠ADC

∴OC：CD=sin∠ADC

即OC=4

在Rt△OCD中，OD=3

OA=AD–OD=2

∴D(3，0)，A(–2，0)，C(0，4)，B(–5，4)

设抛物线解析式为y=a(x–3)(x+2)

将C(0，4)代入，得a= –

y= – (x–3)(x+2)= – x2+ x+4

(2)把A(–2，0)和B(–5，4)代入

解得 ∴

解得x1=5,x2= –2，

∴ –2

(3)作AF∥y轴，EF∥x轴，连结PF

xB=5,yB= ∴E(5， ) A(–2，0)

设P(m, – m2+ m+4)

AF= ，EF=7，

S△PAE=S△AFP+S△EFP–S△AFE= AF(xP–xA)+ EF(yP–yE)– AF×EF

=

= =

∴当m= ，即P( ， )时△PAE有最大值为 。

【点评】(1)本题重点考查了菱形的性质，以及利用三角函数求线段长度和点的坐标。利用坐标求抛物线解析式。

(2)求出直线与抛物线的两交点坐标，并结合图像解答问题。

(3)求三角形面积的方法有很多种，此种方法利用割补法求出三角形面积关于m的函数关系式，并求最大值。

24.(2012四川攀枝花，24，12分)(12分)如图10所示，在 形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于 D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP= ，PE= .

(1)当 时，求 的值;

(2)当CQ= CE时，求 与 之间的函数关系式;

(3)①当CQ= CE时，求 与 之间的函数关系式;

②当CQ= CE( 为不小于2的常数)时，求直接 与 之间的函数关系式。

【解析】平行、角平分线、等腰三角形、相似、对应边成比例

【答案】

解：

(1)∵E、F是AB、AC中点

∴EF∥BC，EF=0.5BC=3

∴EP= =1

∵EF∥BC

∴△DPE∽△DBC

∴EP：BC=1：6

∴ =1：36

(2)延长BQ交射线EF于点G

∵EF∥BC

∴∠G=∠GBC

又∵∠GBC=∠GBP

∴∠G=∠GBP

∴PG=BP=y

即EG=x+y

∵EF∥BC

∴△QEG∽△QCB

∴EQ：QC=EG：BC=1

x+y=6

y= –x+6

(3)

①同(2)中

△QEG∽△QCB

EQ：QC=EG：BC=2

x+y=2×6

y= –x+12

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