2017届高三数学期中试题及答案

概要：q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围.[解析]p为真命题⇔f′(x)=3x2-a≤0在[-1,1]上恒成立⇔a≥3x2在[-1,1]上恒成立⇔a≥3，q为真命题⇔Δ=a2-4≥0恒成立⇔a≤-2或a≥2.由题意p和q有且只有一个是真命题，p真q假⇔a≥3-2p假q真⇔a<3a≤-2或a≥2⇔a≤-2或2≤a<3，综上所述：a∈(-∞，-2]∪[2,3).18.(本小题满分12分)(2011•广东高州市长坡中学期末)复数z=12-32i2是一元二次方程ax2+bx+1=0(a，b∈R)的根.(1)求a和b的值;(2)若(a+bi)u-+u=z(u∈C)，求u.[解析](1)由题得z=-12-32i，因为方程ax2+bx+1=0(a、b∈R)是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为-12+32i.由韦达定理知：-12-32i+-12+32i=-ba-12-32i-12+32i=1a⇒a=1b=1.(2)由(1)知(1+i)u-+u=-12-32i，设u=x+yi(x，y∈R)，则(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-12-32i，得(2x+y)+xi=-12-32i，∴2x+y=-12x=-32，&there4

[解析]　f(2)=32=12+1，f(4)=f(22)>2=22+1，f(8)=f(23)>52=32+1，f(16)=f(24)>3=42+1，观察可见自变量取值为2n时，函数值大于或等于n2+1，即f(2n)≥n2+1.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)(2011•华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)设命题p：命题f(x)=x3-ax-1在区间[-1,1]上单调递减;命题q：函数y=ln(x2+ax+1)的值域是R，如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围.

[解析]　p为真命题⇔f′(x)=3x2-a≤0在[-1,1]上恒成立⇔a≥3x2在[-1,1]上恒成立⇔a≥3，

q为真命题⇔Δ=a2-4≥0恒成立⇔a≤-2或a≥2.

由题意p和q有且只有一个是真命题，

p真q假⇔a≥3-2

p假q真⇔a<3a≤-2或a≥2⇔a≤-2或2≤a<3，

综上所述：a∈(-∞，-2]∪[2,3).

18.(本小题满分12分)(2011•广东高州市长坡中学期末)复数z=12-32i2是一元二次方程ax2+bx+1=0(a，b∈R)的根.

(1)求a和b的值;

(2)若(a+bi)u-+u=z(u∈C)，求u.

[解析]　(1)由题得z=-12-32i，

因为方程ax2+bx+1=0(a、b∈R)是实系数一元二次方程，所以它的另一个根为-12+32i.

由韦达定理知：-12-32i+-12+32i=-ba-12-32i-12+32i=1a

⇒a=1b=1.

(2)由(1)知(1+i)u-+u=-12-32i，设u=x+yi(x，y∈R)，则(1+i)(x-yi)+(x+yi)=-12-32i，

得(2x+y)+xi=-12-32i，

∴2x+y=-12x=-32，∴x=-32y=3-12，

∴u=-32+23-12i.

19.(本小题满分12分)(2011•山东省实验中学)已知a>0，命题p：函数y=ax在R上单调递减，q：设函数y=2x-2a，x≥2a2a，x<2a，函数y>1恒成立，若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围.

[解析]　若p为真命题，则0

又ymin=2a，∴2a>1，∴q为真命题时a>12，

又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p与q一真一假.

若p真q假，则0

故a的取值范围为0

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