函数的单调性与极值教案

概要：中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a，b]上有定义，是为了保证函数在[a，b]内有最大值和最小值;在(a，b)内可导，是为了能用求导的方法求解.4.求函数最大值和最小值，先确定函数的极大值和极小值，然后，再比较函数在区间两端的函数值，因此，用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.5.有关函数最值的实际应用问题的教学，是本节内容的难点.教学时，必须引导学生确定正确的数学建模思想，分析实际问题中各变量之间的关系，给出自变量与因变量的函数关系式，同时确定函数自变量的实际意义，找出取值范围，确保解题的正确性.从此，在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定，有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数，而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.教学过程1.复习函数极值的一般求法①学生复述求函数极值的三个步骤.②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.2.提出问题(用字幕打出)①在教科书中的(图2-11)中，哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?②x=a、x=b是不是极值点?③在区间[a，b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?④一般地，设y=f(x)是定义在[a，b]上的函数，且在(a，b)内有导数.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，你认为应通过什么方法去求解? www.guaimaomi.com

目的要求

1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.

2.弄清函数极值与最值的区别与联系.

3.养成“整体思维”的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力.

内容分析

1.教科书结合函数图象，直观地指出函数最大值、最小值的概念，从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.

2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的.

3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a，b]上有定义，在开区间(a，b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a，b]上有定义，是为了保证函数在[a，b]内有最大值和最小值;在(a，b)内可导，是为了能用求导的方法求解.

4.求函数最大值和最小值，先确定函数的极大值和极小值，然后，再比较函数在区间两端的函数值，因此，用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.

5.有关函数最值的实际应用问题的教学，是本节内容的难点.教学时，必须引导学生确定正确的数学建模思想，分析实际问题中各变量之间的关系，给出自变量与因变量的函数关系式，同时确定函数自变量的实际意义，找出取值范围，确保解题的正确性.从此，在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定，有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数，而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.

教学过程

1.复习函数极值的一般求法

①学生复述求函数极值的三个步骤.

②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.

2.提出问题(用字幕打出)

①在教科书中的(图2-11)中，哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?

②x=a、x=b是不是极值点?

③在区间[a，b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?

④一般地，设y=f(x)是定义在[a，b]上的函数，且在(a，b)内有导数.求函数y=f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，你认为应通过什么方法去求解?

3.分组讨论，回答问题

①学生回答：f(x2)是极大值，f(x1)与f(x3)都是极小值.

②依照极值点的定义讨论得出：f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.

③直观地从函数图象中看出：f(x3)是最小值，f(b)是最大值.

(教师在回答完问题①②③之后，再提问：如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢?)

④与学生共同讨论，得出求函数最值的一般方法：

i)求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);

ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

4.分析讲解例题

例4  求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值.

板书讲解，巩固求函数最值的求导法的两个步骤，同时复习求函数极值的一般求法.

例5  用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积为多少?

用多媒体课件讲解：

①用课件展示题目与水箱的制作过程.

②分析变量与变量的关系，确定建模思想，列出函数关系式V=f(x)，x∈D.

③解决V=f(x)，x∈D求最值问题的方法(高次函数的最值，一般采用求导的方法，提醒学生注意自变量的实际意义).

④用“几何画板”平台验证答案.

5.强化训练

演板P68练习

6.归纳小结

①求函数最大值与最小值的两个步骤.

②解决最值应用题的一般思路.

布置作业

教科书习题2.5第4题、第5题、第6题、第7题.