用公式法解一元二次方程

概要：展应用,升华提高归纳小结,布置作业.形成表象,提出问题在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.解下列一元二次方程:(学生选两题做)(1)x2+4x+2=0 ; (2)3x2-6x+1=0;(3)4x2-16x+17=0 ; (4)3x2+4x+7=0.然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:(学生不做,思考其解题过程)(1)3x2+4x+2=0; (2)3x2-2x+1=0;(3)4x2-16x-3=0 ; (4)3x2+x+7=0.思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.分析问题,探究本质由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.进而提出下面的问题:既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.ax2+bx+c=0(a≠0) 注:根据学生学习程度的不同,可ax2+bx=-c

教学目标

(1)会用公式法解一元二次方程;

(2)经历求根公式的发现和探究过程，提高学生观察能力、分析能力以及逻辑思维能力;

(3)渗透化归思想,领悟配方法，感受数学的内在美.

教学重点

知识层面:公式的推导和用公式法解一元二次方程;

能力层面:以求根公式的发现和探究为载体,渗透化归的数学思想方法.

教学难点:求根公式的推导.

总体设计思路:

以旧知识为起点,问题为主线,以教师指导下学生自主探究为基本方式,突出数学知识的内在联系与探究知识的方法,发展学生的理性思维.

教学过程

整体教学流程：形成表象,提出问题　　　  分析问题,探究本质

得出结论,解决问题        拓展应用,升华提高

归纳小结,布置作业.

形成表象,提出问题

在上一节已学的用配方法解一元二次方程的基础上创设情景.

解下列一元二次方程:(学生选两题做)

(1)x2+4x+2=0 ;              (2)3x2-6x+1=0;

(3)4x2-16x+17=0 ;           (4)3x2+4x+7=0.

然后让学生仔细观察四题的解答过程,由此发现有什么相同之处,有什么不同之处?

接着再改变上面每题的其中的一个系数,得到新的四个方程:(学生不做,思考其解题过程)

(1)3x2+4x+2=0;               (2)3x2-2x+1=0;

(3)4x2-16x-3=0 ;             (4)3x2+x+7=0.

思考:新的四题与原题的解题过程会发生什么变化?

设计意图:1.复习巩固旧知识,为本节课的学习打下更好的基础;

2.让学生充分感受到用配方法解题既存在着共性,也存在着不同的现象,由此激发学生的求知欲望.

分析问题,探究本质

由学生的观察讨论得到:用配方法解不同一元二次方程的过程中,相同之处是配方的过程----程序化的操作,不同之处是方程的根的情况及其方程的根.

进而提出下面的问题:

既然过程是相同的,为什么会出现根的不同?方程的根与什么有关?有怎样的关系?如何进一步探究?

让学生讨论得出:从一元二次方程的一般形式去探究根与系数的关系.

ax2+bx+c=0(a≠0)               注:根据学生学习程度的不同,可

ax2+bx=-c                         以采用学生独立尝试配方, 合

x2+x=-                        作尝试配方或教师引导下进行

x2+x+=-+            配方等各种教学形式.

(x+)2=

然后再议开方过程(让学生结合前面四题方程来加以讨论),使学生充分认识到“b2-4ac”的重要性.

当b2-4ac≥0时，

(x+)2=        注:这样变形可以避免对a正、负的讨论,

x+=           便于学生的理解.

x=-即x=

x1=   ,  x2=

当b2-4ac<0时，

方程无实数根.

设计意图:让学生通过经历知识形成的全过程，从而提高自身的观察能力、分析问题和解决问题的能力，发展了理性思维.

得出结论,解决问题

由上面的探究过程可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c确定. 当b2-4ac≥0时，

x=;

当b2-4ac<0时，方程无实数根.

这个式子对解题有什么帮助?通过讨论加深对式子的理解,同时让学生进一步感受到数学的简洁美、和谐美.

进而阐述这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法.

运用公式法解一元二次方程.(设计两个环节:共同练习和独立完成)

[共同练习]

(1)2x2-x-1=0;               (2)4x2-3x+2=0 ;

(3)x2+15x=-3x;              (4)x2-x+=0.

此环节的设计意图:进一步阐述求根公式,归纳总结用公式法解一元二次方程的一般步骤.

[独立完成]

用公式法解一元二次方程:

(1)x2+x-6=0;      (2)x2-x-=0;         (3)3x2-6x-2=0;

(4)4x2-6x=0;      (5)x2+4x+8=4x+11;        (6)x(2x-4)=5-8x.

此环节的设计意图:能够熟练运用公式法解一元二次方程,让每位学生都有所收获.

拓展运用，升华提高

分两个环节：用一用和想一想(此环节基于学生课堂掌握的情况而定,可作为课后思考题).

[用一用]

解决本章引言中的问题:

要设计一座2m高的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以小)的高度比,等于下部与全部的高度比,雕像的下部应设计为多高?

雕像上部的高度AC,下部的高度BC应有如下关系:

即BC2=2AC.

设雕像下部高xm,于是得方程

x2=2(2-x)

整理得:x2+2x-4=0.

解这个方程,得

x=,

x1=-1+,x2=-1-.

精确到0.001,x1≈1.236,x2≈-3.236.

考虑实际意义, x≈1.236.所以雕像下部高度应设计约为1.236m.

在前面的基础上进一步提问: (结合学生的实际情况,可以放在课后思考.)

(1)如果雕像的高度设计为3m,那雕像的下部应是多少?4m呢?

(2)进而把问题一般化,这个高度比是多少?

之后简单介绍黄金分割数,使学生感受到数学的奥妙.

此环节的设计意图:①运用所学的知识解决实际问题;②能力层面上的拓展----化归思想.

[想一想]

清清和楚楚刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 清清说:“此方程有两个不相等的实数根”,而楚楚反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由.

此环节的设计意图:基于学生基础较好,因此对求根公式作进一步深化,并综合运用了配方法,使不同层次的学生都有不同提高.

归纳小结,布置作业

结合上面用一用,让学生尝试对本节课的知识进行梳理,对方法进行提炼,从而使学生的知识和方法更具系统化和网络化,同时也是情感的升华过程.

作业: (结合学生的实际情况,可以分层布置.)

㈠作业本;

㈡拓广探索:P46第12题

㈢阅读思考P46-----黄金分割数,有兴趣的同学可以上网查阅相关资料,或进一步探究根与系数的其他关系.